若 f∈C[a,b]f \in C[a, b]f∈C[a,b], g∈R[a,b]g \in R[a, b]g∈R[a,b] 且 g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上不变号, 则 ∃ξ∈[a,b]\exists \xi \in [a, b]∃ξ∈[a,b], 使得
∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx \int_a^b f(x)g(x) dx = f(\xi) \int_a^b g(x) dx ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx
取 g(x)=1g(x) = 1g(x)=1 得 若 f∈C[a,b]f \in C[a, b]f∈C[a,b], 则 ∃ξ∈[a,b]\exists \xi \in [a, b]∃ξ∈[a,b] 使得
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a) \int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
称 1b−a∫abf(x)dx\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dxb−a1∫abf(x)dx 为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上的平均值
