需要牢记的公式

立方和差公式

$$\begin{align} a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{align}$$

A-G-H不等式

平方均值 $\geq$ 算数均值 $\geq$ 几何均值 $\geq$ 调和均值 即：

$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \geq \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}$$

（当且仅当 $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ 时取等号）

绝对值三角不等式

$$||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$$

（当且仅当 $a, b$ 同号时取等号）

和差化积公式

1. 正加正，正在前: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}$
2. 正减正，余在前: $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}$
3. 余加余，余并肩: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}$
4. 余减余，负正弦: $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}$

柯西-施瓦茨不等式

平方和积 $\geq$ 积和平方

$$(\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2)$$

平方和公式

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

（可推出对应的奇数平方和、偶数平方和公式）

双曲函数的性质

$$\begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \\ \cosh^2 - \sinh^2 x = 1 \end{cases}$$

应用于换元法: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 &\implies \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1, (x = \cos \theta, y = \sin \theta) \\ x^2 - y^2 = 1 &\implies \cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1, (x = \cosh \theta, y = \sinh \theta) \end{cases}$

max/min放缩

最大值 $\geq$ 均值: $\max\{a, b\} \geq \dfrac{1}{2} (a + b)$ 最小值 $\leq$ 均值: $\min\{a, b\} \leq \dfrac{1}{2} (a + b)$

$x \leq min\{a, b\} \iff x \leq a 且 x \leq b$$x \geq max\{a, b\} \iff x \geq a 且 x \geq b$

例题1-双阶乘|双阶乘不等式

$$\dfrac{1}{2\sqrt{n}}<\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}, (n \geq 2)$$

因式分解

$$x^4+1 = (x^2-\sqrt 2 x + 1)(x^2+\sqrt 2 + 1)$$