常见方法

警告

定积分时需注意绝对值, 依靠正负分开计算定积分

奇偶性与周期性(优先考虑)

优先考虑函数中是否有成分为奇函数/偶函数

$$\int_{-a}^a f(x) dx = \begin{cases} 0 &, f为奇函数 \\ 2\int_0^a f(x) dx &, f 为偶函数 \end{cases}$$

$$\int_a^{a+nT} f(x) dx = n \int_0^{T} f(x) dx$$

三角函数

• $$\int_0^\frac{\pi}{2} f(\sin x, \cos x) dx = \int_0^\frac{\pi}{2} f(\cos x, \sin x) dx$$

  令 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 即可得到

• $$\int_0^\pi f(\sin x) dx = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} f(\sin x) dx$$

  令 $x = \pi - t$ 即可得到

• $$\int_0^\pi xf(\sin x) dx = \dfrac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx$$

  令 $x = \pi - t$ 即可得到

循环

不定积分: 分部后循环, 可移项得到答案 定积分: 换元后循环, 可移项得到答案

令 $x = a + b - t$ 可得

$$\int_b^a f(x) dx = \int_b^a f(a+b-x) dx$$