两类换元法

第一换元法

$$\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) dx = F(\varphi(x)) + C$$

即: 令 $t = \varphi(x)$, 则 $dt = \varphi'(x) dx$, 原式 $= \int f(t) dt = F(t) + C$

第二换元法

$$\int f(x) dx = \int f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt = F(t) + C = F(\varphi^{-1}(x)) + C$$

即: 令 $x = \varphi(t)$, 则 $dx = \varphi'(t) dt$, $\int f(x) dx = \int f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt$

注意

注意换元求完积分后记得换回 x 来