新圆角算法

一种在矩形与圆形间插值以创建新型圆角形状的算法

新圆角算法

我们首先使用极坐标系描述圆和矩形：

圆

$$r = 1$$

矩形

$$r = \frac{1}{\cos{| \frac{2\theta}{\pi} - [ \frac{2\theta}{\pi} - \frac{1}{2} ] -1|}}$$

推导过程

高斯函数

$$[x]$$

获取小数部分

$$x - [x]$$

向下平移 $\frac{1}{2}$

$$x - [x] - \frac{1}{2}$$

取绝对值

$$|x - [x] - \frac{1}{2}|$$

向右平移 $frac{1}{2}$

$$|x - \frac{1}{2} - [x - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}|$$

伸缩变换

$$\begin{align*} 2\frac{\pi}{4} |\frac{x}{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} - [\frac{x}{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}| \\ = \frac{\pi}{2} |\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2} - [\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}| \end{align*}$$

取余弦

$$\cos{\frac{\pi}{2} |\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2} - [\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}|}$$

取倒数

$$\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2} |\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2} - [\frac{2x}{\pi} - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}|}}$$

获得 新 圆角矩形

我们记

$$\begin{align*} f(\theta) &= 1 \\ g(\theta) &= \frac{1}{\cos{| \frac{2\theta}{\pi} - [ \frac{2\theta}{\pi} - \frac{1}{2} ] -1|}} \end{align*}$$

则新圆角可用两者的 线性插值 表示

$$r = \lambda g(x) + (1 - \lambda) f(x)$$

用 $\lambda$ 表示形状的弯曲程度

$$\begin{cases} \lambda = 0, & \text{矩形}, \\ \lambda = 1, & \text{圆形}, \\ 0 < \lambda < 1, & \text{新圆角}. \end{cases}$$

下图为 $\lambda=$ 0.5 时的情况：

而如果将 $\lambda$ 的范围改变，还可以得到更奇特的图形：

下图为 $\lambda=$ 0.5 时的情况：