微积分基本定理

若 $f \in C[a, b]$, $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内的一个原函数, 则

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x)|_b^a$$

又称: 牛顿-莱布尼茨公式

注意

注意: 可积 $\neq$ 存在原函数 可积 $\nRightarrow$ 存在原函数: 含第一类间断点的函数可积, 但一定不存在原函数 可积 $\nLeftarrow$ 存在原函数: 存在 $F'(x)=f(x)$ 但 $f(x)$ 无界, 一定不可积 例如: $F(x) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x^2} &, 0 < x \leq 1 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$

可积 = 有定积分 $\neq$ 有不定积分 = 有原函数

提示

连续函数一定有原函数 $f \in D \implies f \in C \nRightarrow f \in R$$\implies \exists F'(x) = f(x)$