浅谈坐标形式的面积体积通式

本文主要阐述本人关于 2D/3D/4D 空间中，以坐标形式计算图形面积/体积时遇到的一些思考与看法。

2D 面积

总所周知，坐标形式的 2D 多边形面积可以用已有的以下公式计算：

我们设多边形有$n$个顶点，坐标分别为： $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$
则面积$S_{\text{多边形}}$可表示为：

$$S_{\text{多边形}} = \frac{1}{2} \left( \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix} + \ldots + \begin{vmatrix} x_{n-1} & y_{n-1} \\ x_n & y_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{vmatrix} \right) \tag{1}$$

关于上式的正负问题引发的思考

请注意，上式的计算结果既可为正也可为负， 具体取决于编号点时的顺时针或逆时针顺序。

当编号顺序为逆时针时，$S_{\text{多边形}} < 0$ （负）；
当编号顺序为顺时针时，$S_{\text{多边形}} > 0$ （正）。

因此，如果只是想要求多边形面积的话，事实上应该取$|S_{\text{多边形}}|$作为图形的面积。

而对于为什么会出现这种情况呢，我在物理课上找到了灵感。 在物理学上，外界对理想气体做功的大小可以用$p-V$图像的面积来求（如图）

理想气体p-V图像

在上图的$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$循环（顺时针）中：

1. $\bf{A} \rightarrow \bf{B}$：外界对气体做功$W_1 = -S_{AA'B'B}$
2. $\bf{B} \rightarrow \bf{C}$：外界对气体做功$W_2 = +S_{BB'C'C}$
3. $\bf{C} \rightarrow \bf{A}$：外界对气体做功$W_3 = +S_{CC'A'A}$

总计：$\textbf{W} = W_1 + W_2 + W_3 = -S_{\triangle ABC} < 0$

而在$A \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$循环（逆时针）中：

1. $\bf{A} \rightarrow \bf{C}$：外界对气体做功$W_1 = -S_{AA'C'C}$
2. $\bf{C} \rightarrow \bf{B}$：外界对气体做功$W_2 = -S_{CC'B'B}$
3. $\bf{B} \rightarrow \bf{A}$：外界对气体做功$W_3 = +S_{BB'A'A}$

总计：$\textbf{W} = W_1 + W_2 + W_3 = +S_{\triangle ABC} > 0$

可见，气体状态变化的方向不同，外界对气体做功的正负不同， 而这就正是上式中面积正负的实际意义。

关于推导上式的思考

上面 $(1)$ 式是如此简洁地用行列式表示出了任意多边形的面积，这不由地让人思考： 这个完美的公式是如何推导出来的呢？

根据高中数学，我们可以很自然地联想到三角形面积的叉乘公式：

$$\begin{align*} S_{\triangle OAB} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \tag{2.1} \\ &= \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \tag{2.2} \\ &= \frac{1}{2} r_1r_2\sin<\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}> \tag{2.3} \end{align*}$$

注：$O$ 为坐标原点，$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$

注意

与 $(1)$ 式一样，此处结果可能有负值，且本文中提及的所有的“面积”“体积”都可有正负。

可以发现，这个公式可以看作 $(1)$ 式对于三角形的特例，且需要将一个顶点移动至原点。 而 $(2.2)$ 式又该如何证明呢？我们可以利用 $(2.3)$ 式：

先将 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 用极坐标系表示：

设 $\overrightarrow{OA}$ 与 $x$ 轴正方向夹角 $\alpha$，模长为 $r_1$； $\overrightarrow{OB}$ 与 $x$ 轴正方向夹角 $\beta$，模长为 $r_2$

$$\begin{align*} S_{\triangle OAB} &= \frac{1}{2} r_1 r_2 \sin(\alpha - \beta) \\ &= \pm \frac{1}{2} r_1 r_2 \sqrt{ 1-\cos^2 (\alpha - \beta) } \\ &= \pm \frac{1}{2} r_1 r_2 \sqrt{ 1-\left( \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \right)^2 } \\ &= \pm \frac{1}{2} r_1 r_2 \sqrt{ 1-\left( \frac{x_1 x_2}{|OA||OB|} - \frac{y_1 y_2}{|OA||OB|} \right)^2 } \\ &= \pm \frac{1}{2} \sqrt{ r_1^2 r_2^2 - \left(x_1 x_2 - y_1 y_2\right)^2 } \\ &= \pm \frac{1}{2} \sqrt{ (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) - \left(x_1 x_2 - y_1 y_2\right)^2 } \\ &= \pm \frac{1}{2} \sqrt{ x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_1^2 - 2x_1 x_2 y_1 y_2 } \\ &= \frac{1}{2} (x_1 y_2 - x_2 y_1) \\ &= \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \end{align*}$$