定积分的性质

对区间的规定

$$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$$

$$\int_a^a f(x) dx = 0$$

线性性

$$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$$

区间可加性

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

保号性

若 $\forall x \in [a, b], f(x) \geq 0$, 则

$$\int_a^b f(x) dx \geq 0$$

保序性

若 $\forall x \in [a, b], f(x) \leq g(x)$, 则

$$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$$

估值不等式

若 $\forall x \in [a, b], m \leq f(x) \leq M$, 则

$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$$

绝对值不等式

若$f, |f| \in R[a, b]$, 则

$$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$$

注意前提是 $|f| \in R[a, b]$ 此时称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上绝对可积

乘积可积性

若 $f, g \in R[a, b]$, 则 $f \cdot g \in R[a, b]$

若 $f^2 \in R[a, b]$ 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上平方可积

施瓦兹(Schwarz)不等式

$$\left(\int_a^b f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) dx \cdot \int_a^b g^2(x) dx$$

即: 乘积积分的平方 $\leq$ 平方积分的乘积