三角函数与反三角函数

函数

三角函数	倒数	反函数	倒数的反函数	双曲函数
$\sin x$	$\csc x$	$\arcsin x$	$arccsc(x)$	$\sinh x$
$\cos x$	$\sec x$	$\arccos x$	$arcsec(x)$	$\cosh x$
$\tan x$	$\cot x$	$\arctan x$	$arccot(x)$	$\tanh x$

警告

注意反三角函数的定义域

导数

• $\dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\dfrac{d(\arccos x)}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\dfrac{d(\arctan x)}{dx} = \dfrac{1}{x^2+1}$
• $\dfrac{d(arccot x)}{dx} = -\dfrac{1}{x^2+1}$
• $\dfrac{d(\sinh x)}{dx} = \cosh x$
• $\dfrac{d(\cosh x)}{dx} = \sinh x$

和反函数复合

可画三角形化简

• $\sin (\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ (令 $\theta=\arccos x$)