定积分的定义

在 $[a, b]$ 内任意插入 $n-1$ 个分点 $x_i$ 得 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ 称为对 $[a, b]$ 的一个分划

记每个子区间的长度 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$

在每个子区间内取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ 近似代表这个子区间

每个子区间的面积可近似为 $f(\xi_i) \Delta_i$

记 $||T||=max_{1 \leq i \leq n} \{\Delta x_i\}$, 则 $\int_{a}^b f(x) dx = \lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi) \Delta x_i$

注意

注意是 $max \Delta x \to 0$ 而不是区间数 $n \to 0$, 否则可以通过一个区间不动而细分其他区间来达到

定义

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上有定义且有界 且对于任意划分和 $\forall \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$, 总有 $\lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi) \Delta x_i = I$ ($I$ 为定值) 则 $f$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积(可积), 记为 $f \in R[a, b]$, $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分记为 $\int_{a}^b f(x) dx = I = \lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi) \Delta x_i$$a$, $b$ 为积分的上限和下限$\sum_{i=1}^n f(\xi) \Delta x_i$ 称为黎曼和或积分和

几何意义

曲线 $y=f(x)$ 与 $y=0$, $x=a$, $x=b$ 在 $y > 0$ 部分围成的面积减去 $y < 0$ 部分围成的面积