变限积分

变上限积分

称

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt, (x \in [a, b])$$

为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的变上限函数(简称变上限积分)

连续性

若 $f \in R[a, b]$, $\implies$ 变上限积分 $\Phi(x) \in C[a, b]$

可导性

若 $f \in C[a, b]$, $\implies$ 变上限积分 $\Phi(x) \in D[a, b]$

若 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处连续 $\implies$ $\Phi(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导

相关信息

即: $f$ 不可积 $\implies$ $\Phi$ 不存在$f$ 可积 $\implies$ $\Phi$ 存在且连续$f$ 连续 $\implies$ $\Phi$ 可导$f$ 点连续 $\implies$ $\Phi$ 点可导

原函数存在性定理

若 $f \in C[a, b]$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数, 其变上限积分函数就是一个原函数

变下限积分

$$\Psi(x) = \int_x^b f(t) dt, (x \in [a, b])$$

可由变上限积分转化而来:

$$\int_x^b f(t) dt = -\int_b^x f(t) dt$$

变上下限积分的导数

被积函数与 $x$ 无关:

$$\left(\int_{h(x)}^{g(x)} f(t) dt\right)' = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)$$

被积函数与 $x$ 有关:

1. 将 $x$ 乘积因子提出积分号外

   $$\int_a^b x f(t) dt = x \int_a^b f(t) dt$$

2. 运用变量替换将 $x$ 换至积分上下限中

   $$\int_a^b f(t+x) dt = \int_{a+x}^{b+x} f(t) dt$$

3. 运用公式

   $$\int_{h(x)}^{g(x)} f(x, t) dt = f(x, g(x)) g'(x) - f(x, h(x)) h'(x) + \int_{h(x)}^{g(x)} \dfrac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt$$