有理函数分式分解

有理函数: $R(x) = \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 可分解为四种形式

• $\dfrac{A}{x-a}$
• $\dfrac{A}{(x-a)^k}$
• $\dfrac{Bx+D}{x^2+px+q}$
• $\dfrac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k}$

而分解的目的是为了方便积分

步骤

Step1. 对 $Q_m(x)$ 因式分解

$$Q_m(x) = (x-a)^k (x^2+px+q)^k$$

因为方程可能有实根和虚根

Step2. 用待定系数法求 A, B, D 的值

$$R(x) = \dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k} + \dfrac{B_1 x + D_1}{x^2+px+q} + \dfrac{B_2 x + D_2}{(x^2+px+q)^2} + \cdots + \dfrac{B_k x + D_k}{(x^2+px+q)^k}$$

提示

待定系数法: 可以带特殊的 x 值使一些系数变成 0 方便解方程

例子

$$\dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x} = 1 + \dfrac{5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{6}}{x} + \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{x-2} + \dfrac{\dfrac{28}{3}}{x-3}$$

$$\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4} = 1 - \dfrac{5x^2 + 4}{(x^2+1)(x^2+4)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{3}}{x^2+1} + \dfrac{-\dfrac{16}{3}}{x^2+4}$$