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有理函数分式分解

Kamimika...小于 1 分钟学习笔记

有理函数分式分解

有理函数: R(x)=Pn(x)Qm(x)R(x) = \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)} 可分解为四种形式

  • Axa\dfrac{A}{x-a}
  • A(xa)k\dfrac{A}{(x-a)^k}
  • Bx+Dx2+px+q\dfrac{Bx+D}{x^2+px+q}
  • Bx+D(x2+px+q)k\dfrac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k}

而分解的目的是为了方便积分

步骤

Step1. 对 Qm(x)Q_m(x) 因式分解

Qm(x)=(xa)k(x2+px+q)k Q_m(x) = (x-a)^k (x^2+px+q)^k

因为方程可能有实根虚根

Step2. 用待定系数法求 A, B, D 的值

R(x)=A1xa+A2(xa)2++Ak(xa)k+B1x+D1x2+px+q+B2x+D2(x2+px+q)2++Bkx+Dk(x2+px+q)k R(x) = \dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k} + \dfrac{B_1 x + D_1}{x^2+px+q} + \dfrac{B_2 x + D_2}{(x^2+px+q)^2} + \cdots + \dfrac{B_k x + D_k}{(x^2+px+q)^k}

提示

待定系数法: 可以带特殊的 x 值使一些系数变成 0 方便解方程

例子

x3+1x35x2+6x=1+5x26x+1x(x2)(x3)=1+16x+92x2+283x3 \dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x} = 1 + \dfrac{5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{6}}{x} + \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{x-2} + \dfrac{\dfrac{28}{3}}{x-3}

x4x4+5x2+4=15x2+4(x2+1)(x2+4)=1+13x2+1+163x2+4 \dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4} = 1 - \dfrac{5x^2 + 4}{(x^2+1)(x^2+4)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{3}}{x^2+1} + \dfrac{-\dfrac{16}{3}}{x^2+4}

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贡献者: wzh
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