常见方法

有理函数

有理函数: $R(x) = \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 可分解为四种形式

• $\dfrac{A}{x-a}$
• $\dfrac{A}{(x-a)^k}$
• $\dfrac{Bx+D}{x^2+px+q}$
• $\dfrac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k}$

1. 对 $Q_m(x)$ 因式分解

   $$Q_m(x) = (x-a)^k (x^2+px+q)^k$$

   因为方程可能有实根和(共轭的)虚根
2. 用待定系数法求 A, B, D 的值

   $$R(x) = \dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k} + \dfrac{B_1 x + D_1}{x^2+px+q} + \dfrac{B_2 x + D_2}{(x^2+px+q)^2} + \cdots + \dfrac{B_k x + D_k}{(x^2+px+q)^k}$$

提示

待定系数法: 可以带特殊的 x 值使一些系数变成 0 方便解方程

例子

$$\dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x} = 1 + \dfrac{5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{6}}{x} + \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{x-2} + \dfrac{\dfrac{28}{3}}{x-3}$$

$$\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4} = 1 - \dfrac{5x^2 + 4}{(x^2+1)(x^2+4)} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{3}}{x^2+1} + \dfrac{-\dfrac{16}{3}}{x^2+4}$$

三角有理式

形如 $R(\sin x, \cos x)$ 的函数

$R(u, v)$ 为将 $u, v$ 做有理运算得到的函数

• 若 $R(-\sin x, \cos x) = R(\sin x, \cos x)$ 令 $t = \cos x$

• 若 $R(\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$ 令 $t = \sin x$

• 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$ 令 $t = \tan x$

• $\int R(\sin x) \cos x dx$, $\int R(\cos x) \sin x dx$ 型 令 $t = \sin x$ 或 $t = \cos x$

• $\int R(\sin^2 x, \cos^2 x) dx$ 型 令 $t = \tan x$

• $\int \cos mx \cos nx dx$, $\int \sin mx \sin nx dx$, $\int \cos mx \sin nx$ 型 使用积化和差公式

提示

要善于使用拆凑($+x-x$, $+1-1$), 分子分母同乘, 三角函数变形等技巧化简

• 万能公式: 令 $t = \tan \dfrac{x}{2}$, 则 $x = 2\arctan t$
  • $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$
  • $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
  • $dx = \dfrac{2dt}{1+t^2}$ 化为#有理函数进行积分

根式

• 根一次型: $\sqrt[n]{ax+b}$, $\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$直接整体替换: 令根式等于 t
• 根二次型: $R(x+d, \sqrt{ax^2+bx+c})$
  • 乘积因子在分子 用 $d(ax^2+bx+c)$ 线性表示 $x+d$
  • 乘积因子在分母 利用倒置换: $t = \dfrac{1}{x+d}$ 转化为乘积因子在分子型