有理函数: R(x)=Qm(x)Pn(x) 可分解为四种形式
- x−aA
- (x−a)kA
- x2+px+qBx+D
- (x2+px+q)kBx+D
- 对 Qm(x) 因式分解
Qm(x)=(x−a)k(x2+px+q)k
因为方程可能有实根和(共轭的)虚根 - 用待定系数法求 A, B, D 的值
R(x)=x−aA1+(x−a)2A2+⋯+(x−a)kAk+x2+px+qB1x+D1+(x2+px+q)2B2x+D2+⋯+(x2+px+q)kBkx+Dk
提示
待定系数法: 可以带特殊的 x 值使一些系数变成 0 方便解方程
x3−5x2+6xx3+1=1+x(x−2)(x−3)5x2−6x+1=1+x61+x−2−29+x−3328
x4+5x2+4x4=1−(x2+1)(x2+4)5x2+4=1+x2+131+x2+4−316
形如 R(sinx,cosx) 的函数
R(u,v) 为将 u,v 做有理运算得到的函数
若 R(−sinx,cosx)=R(sinx,cosx) 令 t=cosx
若 R(sinx,−cosx)=R(sinx,cosx) 令 t=sinx
若 R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx) 令 t=tanx
∫R(sinx)cosxdx, ∫R(cosx)sinxdx 型 令 t=sinx 或 t=cosx
∫R(sin2x,cos2x)dx 型 令 t=tanx
∫cosmxcosnxdx, ∫sinmxsinnxdx, ∫cosmxsinnx 型 使用积化和差公式
提示
要善于使用拆凑(+x−x, +1−1), 分子分母同乘, 三角函数变形等技巧化简
- 万能公式: 令 t=tan2x, 则 x=2arctant
- sinx=1+t22t
- cosx=1+t21−t2
- dx=1+t22dt 化为#有理函数进行积分
- 根一次型: nax+b, ncx+dax+b直接整体替换: 令根式等于 t
- 根二次型: R(x+d,ax2+bx+c)
- 乘积因子在分子 用 d(ax2+bx+c) 线性表示 x+d
- 乘积因子在分母 利用倒置换: t=x+d1 转化为乘积因子在分子型