两类换元法和分部积分法

第一换元法

$$\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) dx = F(\varphi(x)) + C$$

即: 令 $t = \varphi(x)$, 则 $dt = \varphi'(x) dx$, 原式 $= \int f(t) dt = F(t) + C$

第二换元法

$$\int f(x) dx = \int f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt = F(t) + C = F(\varphi^{-1}(x)) + C$$

即: 令 $x = \varphi(t)$, 则 $dx = \varphi'(t) dt$, $\int f(x) dx = \int f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt$

注意

注意换元求完积分后记得换回 x 来

提示

换元涉及 $\tan \dfrac{t}{2}$ 时可以运用变换 $\tan \dfrac{t}{2} = \dfrac{1-\cos t}{\sin t} = \dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$

分部积分

$$\int u(x) d[v(x)] = u(x) d(x) - \int v(x) d[u(x)]$$

$$\int u dv = uv - \int v du$$

注意

注意: $uv$ 需要相减