面积

y=f(x)

$$S = \int_a^b f(x) dx$$

参数方程

$$\begin{cases}x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

$$S = \int_a^b |y(t) x'(t)| dt$$

注意

注意绝对值

极坐标方程

$$S = \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{2} r^2(\theta) d\theta$$

注意

注意: 极坐标方程的面积是与原点连线扫过的面积，而不是与x轴围成的面积

隐函数

$$f(x, y) = 0$$

转成极坐标方程

$$\begin{cases} x = r(\theta) \cos \theta \\ y = r(\theta) \sin \theta \end{cases}$$

代入得

$$f(r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta) = 0$$

再求积分