瑕积分

瑕积分: 被积函数无界

警告

瑕积分形式上与定积分无异, 故求定积分时需注意被积区间是否有瑕点

瑕点(奇点)

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的任意邻域内无界, 则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的瑕点(奇点)

注意

瑕点是特殊的间断点, 间断点不一定是瑕点

反常积分

1. 若 $[a, b)$ 有定义, $b$ 为瑕点

   $$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx$$

2. 若 $(a, b]$ 有定义, $a$ 为瑕点

   $$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx$$

3. 区间内一个瑕点: 分两段 若 $c \in [a, b]$ 为区间内唯一瑕点

   $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

4. 区间内两个瑕点: 分四段 若 $c,d \in [a, b]$ 为区间内所有瑕点 取 $\varepsilon \in (c, d)$

   $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^\varepsilon f(x) dx + \int_\varepsilon^d f(x) dx + \int_d^b f(x) dx$$

注意

任意极限发散则反常积分发散