收敛判定定理

海涅归并定理

$\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛 $\iff$ $\forall \{A_n\} \in [a, +\infty)$, $\lim_{n \to \infty} A_n = +\infty$, 且极限 $\lim_{n \to \infty} \int_a^{A_n} f(x) dx$ 存在且相等

若 $f(x), g(x)$ 非负

1. $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛 $\iff$ $F(A) = \int_a^A f(x) dx$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界
2. 比较判别法 若 $0 \leq f(x) \leq g(x)$$\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛 $\Leftarrow$ $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散
3. 以 p 积分 ($\int \dfrac{dx}{x^p}$) 为比较函数, 得 p 判别法

注意

无穷积分收敛 $\nRightarrow$ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ 需要加上两个条件之一: 极限存在/单调

AD判别法

Abel 判别法

若 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛, $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 单调 有界$\implies$ $\int_a^{+\infty} f(x) g(x) dx$ 收敛

Dirichlet 判别法

若 $F(A) = \int_a^A f(x) dx$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界, $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$$\implies$ $\int_a^{+\infty} f(x) g(x) dx$ 收敛