微分方程

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

分类

常微分方程: 未知数为一元函数
- 按阶数分类:
  - 一阶微分方程: 只有 $x, y, y'$ $x, y, y^{'}$
    - 可分离变量: $f(x) dx = g(y) dy$
    - ax+by+c型
    - 齐次型
    - 伯努利方程
    - 一阶线性微分方程 (1-L)
      - 一阶线性齐次微分方程 (1-HL)
      - 一阶线性非齐次微分方程 (1-NHL): 公式法
  - 线性微分方程#二阶线性微分方程|二阶线性微分方程
    - 二阶线性齐次微分方程: 刘维尔公式
    - 二阶线性非齐次微分方程
  - 高阶微分方程: 降阶
    - 无x: 设 $y' = u(y)$ , $y'' = u'(y)$
    - 无y: 设 $y' = u(x)$ , $y'' = u \dfrac{du}{dy}$
- 按线性分类:
  - 线性微分方程: 各阶导数均为一次, 无 $[y^{(k)}]^n$ $[y^{(k)}]^{n}$
    - 线性齐次微分方程 (n-HL)
      - 常系数线性齐次微分方程: 特征方程与特征根法
      - 常系数线性非齐次微分方程
    - 线性非齐次微分方程 (n-NHL): 线性齐次微分方程 + 常数变易法
  - 非线性微分方程
偏微分方程

一阶/高阶(n-): $y^{(n)}$ 中 $n = 1$ / $n > 1$
齐次(H): $\varphi(kx, ky) = \varphi(x, y)$ 或 $f(\dfrac{y}{x})$ 即没有非齐次项 (导数可能有高次幂, 如伯努利方程)
线性(L): 导数均一次幂, 无 $[y^{(k)}]^n$ 如: $y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f(x)$
一阶线性: $y' + P(x)y = Q(x)$
线性齐次(HL) $y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = 0$
常系数: 导数的系数与常数的系数都不含 $x$ 如: $y'' + py' + qy = 0$