微分方程

分类

• 常微分方程: 未知数为一元函数
  • 按阶数分类:
    • 一阶微分方程: 只有 $x, y, y'$
      • 可分离变量: $f(x) dx = g(y) dy$
      • ax+by+c型
      • 齐次型
      • 伯努利方程
      • 一阶线性微分方程 (1-L)
        • 一阶线性齐次微分方程 (1-HL)
        • 一阶线性非齐次微分方程 (1-NHL): 公式法
    • 线性微分方程#二阶线性微分方程|二阶线性微分方程
      • 二阶线性齐次微分方程: 刘维尔公式
      • 二阶线性非齐次微分方程
    • 高阶微分方程: 降阶
      • 无x: 设 $y' = u(y)$, $y'' = u'(y)$
      • 无y: 设 $y' = u(x)$, $y'' = u \dfrac{du}{dy}$
  • 按线性分类:
    • 线性微分方程: 各阶导数均为一次, 无 $[y^{(k)}]^n$
      • 线性齐次微分方程 (n-HL)
        • 常系数线性齐次微分方程: 特征方程与特征根法
        • 常系数线性非齐次微分方程
      • 线性非齐次微分方程 (n-NHL): 线性齐次微分方程 + 常数变易法
    • 非线性微分方程
• 偏微分方程

概念辨析

• 一阶/高阶(n-): $y^{(n)}$ 中 $n = 1$ / $n > 1$
• 齐次(H): $\varphi(kx, ky) = \varphi(x, y)$ 或 $f(\dfrac{y}{x})$ 即没有非齐次项 (导数可能有高次幂, 如伯努利方程)
• 线性(L): 导数均一次幂, 无 $[y^{(k)}]^n$ 如: $y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f(x)$
  一阶线性: $y' + P(x)y = Q(x)$
• 线性齐次(HL) $y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = 0$
• 常系数: 导数的系数与常数的系数都不含 $x$ 如: $y'' + py' + qy = 0$

定义

$$F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$$

$$y^{(n)} = f(x, y, \cdots, y^{(n-1)})$$

方程的阶: 导数的最高阶数 $n$ 若 $y = \phi(x)$ 能使等式成为恒等式, 则是微分方程的解

• 通解: 解中含有的独立常数个数 = 阶数 $n$ 图形是一条曲线 (积分曲线)
• 特解: 不含任何常数 图形是一族曲线 (积分曲线族) 确定特解需要的条件为定解条件 在某个定点时的定解条件称为柯西初值条件