一阶微分方程

可分离变量型

$$\dfrac{dy}{dx} = \phi(x) \psi(y)$$

$\psi(y) \neq 0$ 时 (通解):

$$\dfrac{dy}{\psi(y)} = \phi(x) dx$$

$$\int \dfrac{dy}{\psi(y)} = \int \phi(x) dx + C$$

$\psi(y) \equiv 0$ 时 (特解):

$$y \equiv C$$

ax+by+c型

$$\dfrac{dy}{dx} = f(ax+by+c)$$

令 $u(x) = ax+by+c$, 则

$$\dfrac{du}{dx} = a + b \dfrac{dy}{dx} = a + bf(u)$$

解得 $u$ 后再反解 $y$

注意

不要忘了反解 $y$

齐次型

$$\varphi(kx, ky) = \varphi(x, y)$$

$$\dfrac{dy}{dx} = g(\dfrac{y}{x})$$

令 $u = \dfrac{y}{x}$, 则 $y = ux$

$$\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} = g(u)$$

分离变量

$$\dfrac{du}{g(u) - u} = \dfrac{dx}{x}$$

解得 $u$ 后再反解 $y$

注意

不要忘了反解 $y$

ax+by+c齐次相除型

$$\dfrac{dy}{dx} = f\left(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right)$$

先求解方程组

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases}$$

得 $x = x_0, y = y_0$ 再令

$$X = x - x_0, Y = y - y_0$$

则

$$\dfrac{dY}{dX} = f\left(\dfrac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_2 Y}\right) = f\left(\dfrac{a_1 + b_1 \dfrac{Y}{X}}{a_2 + b_2 \dfrac{Y}{X}}\right)$$

化为齐次方程求解

注意

不要忘了反解 $Y, X$ 和 $y$