线性微分方程

定义

若微分方程的各阶导数都是一次的, 则称该方程为线性微分方程

形如:

$$y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f(x)$$

性质

叠加原理

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是线性微分方程

$$y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f_1(x)$$

与

$$y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f_2(x)$$

的解

则 $C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程

$$y^{(n)} + \cdots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = C_1 f_1(x) + C_2 f_2(x)$$

的解

推论

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是==齐次线性微分方程 ($f(x) = 0$) 的解 则其线性组合 $C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 也是此方程==的解

线性无关

$y_1(x), y_2(x)$ 线性相关 $\iff$ $\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} = C$ 为常数$y_1(x), y_2(x)$ 线性无关 $\iff$ $\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} = C(x)$ 为与 $x$ 有关的函数

$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 线性相关 $\iff$ $\exists k_1, k_2, \cdots k_n$ 不全为零, 使 $k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) + \cdots + k_n y_n(x) \equiv 0$$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 线性无关 $\iff$ $\forall k_1, k_2, \cdots k_n$ 不全为零, 使 $k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) + \cdots + k_n y_n(x) \not\equiv 0$

二阶线性微分方程

二阶线性齐次微分方程 (2-HL)

标准形式

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$$

解的分类

• 平凡解(特解): $y \equiv 0$
• 非平凡解(通解) 若 $y_1(x)$, $y_2(x)$ 是方程两个==#线性无关==的解, 称为基本解组(基底/基础解系), 则 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 为方程通解

刘维尔公式

若 $y_1(x)$ 为 2-HL 标准形式的解, 则

$$y_2(x) = y_1 \int \dfrac{1}{y_1^2} e^{-\int p(x) dx} dx$$

为方程的另一个线性无关的解

注意

一定要先化为标准形式再用刘维尔公式

二阶线性非齐次微分方程 (2-NHL)

标准形式

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$$

若 $y^*(x)$ 是 2-NHL 方程的一个特解, $y_1(x), y_2(x)$ 是对应 2-HL 方程的基本解组, 则方程通解为: 特解+通解

$$y = y^*(x) + C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$$

求特解 $y^*$

• 观察法
• 叠加法
• 待定系数法
• 常数变易法 (通法)

常数变易法

变量关系:

$$\begin{cases} y_i'' + p(x) y_i' + q(x) y_i = 0 \\ {y^*}'' + p(x) {y^*}' + q(x) y^* = f(x) \end{cases}$$

先解对应的 2-HL:

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$$

得到 $y_1(x), y_2(x)$

设 $C_1(x), C_2(x)$ 是与 $x$ 相关的函数, 则

$$y^* = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$$

$${y^*}' = C_1(x) y_1'(x) + C_2(x) y_2'(x) + C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x)$$

令 $C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) = 0$, 则

$${y^*}' = C_1(x) y_1'(x) + C_2(x) y_2'(x)$$

$${y^*}'' = C_1(x) y_1''(x) + C_2(x) y_2''(x) + C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x)$$

代入得(加上令的条件)

$$\begin{cases} C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) = f(x) \\ C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) = 0 \end{cases}$$

方程定有解, 解得 $C_1'(x), C_2'(x)$ 进而求得 $C_1(x), C_2(x)$ 及方程通解