高阶微分方程

直接积分型

$$y^{(n)} = f(x)$$

积分一次降一次阶

低阶导数缺失型(无y)

$$y'' = f(x, y')$$

令 $y' = p(x)$, 则

$$y'' = \dfrac{d(y')}{dx} = \dfrac{dp}{dx} = f(x, p)$$

即可降阶求解

注意

不要忘了反解 $p$ 和 $y$

自变量缺失型(无x)

$$y'' = f(y, y')$$

令 $y' = p(y)$ 则

$$y'' = \dfrac{d(y')}{dx} = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dp}{dy} p = f(y, p)$$

则从 $y-x$ 变成 $p-y$ 方程 即可解出 $p(y)$ 后反解出 $y$

注意

不要忘了反解 $y$