常系数线性齐次微分方程

定义

标准形式

$$y'' + py' + qy = 0$$

设解为 $y = e^{rx}$, 代入得

$$(r^2 + pr + q) e^{rx} = 0$$

即解

$$r^2 + pr + q = 0$$

称为方程的特征方程, 根 $r_1, r_2$ 称为特征根

结论

因为

$$e^{(\alpha \pm \beta i) x} = e^{\alpha x} e^{\pm (\beta x)i} = e^{\alpha x} (\cos \beta x \pm i \sin \beta x)$$

特征根情况	基本解组
单实根 $r$	$e^{rx}$
$k$ 重实根 $r$	$e^{rx}, xe^{rx}, \cdots x^{k-1}e^{rx}$
单重共轭复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x} \cos \beta x, e^{\alpha x} \sin \beta x$
$k$ 重共轭复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x} \cos \beta x, e^{\alpha x} \sin \beta x$; $xe^{\alpha x} \cos \beta x, xe^{\alpha x} \sin \beta x$; $\cdots$; $x^{k-1} e^{\alpha x} \cos \beta x, x^{k-1} e^{\alpha x} \sin \beta x$