常系数线性非齐次微分方程

定义

标准形式 ($f(x)$ 为连续函数)

$$y'' + py' + qy = f(x)$$

求解

1. 先求 $y'' + py' + qy = 0$ 的基本解组后用常数变易法
2. 特殊形式用待定系数法

(指数)多项式

$$f(x) = (b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m) e^{\lambda x}$$

特解:

$$y^* = x^k (B_0 x^m + B_1 x^{m-1} + \cdots + B_{m-1} x + B_m) e^{\lambda x}$$

($k$ 为 $\lambda$ 作为齐次方程的特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 根的重数) ($B_i$ 是多项式的待定系数)

• $\lambda$ 不是根: $k=0$
• $\lambda$ 是单根: $k=1$
• $\lambda$ 是二重根: $k=2$
• …

(指数)三角函数

$$f(x) = [P(x) \cos \beta x + Q(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}$$

特解:

$$y^* = x^k [A(x) \cos \beta x + B(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}$$

($k$ 为 $\alpha \pm \beta i$ 作为齐次方程的特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 根的重数) ($A(x), B(x)$ 都是 $m$ 次待定多项式)

欧拉方程

$$x^n y^{(n)} + p_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1} xy' + p_n y = f(x)$$

换元 $t = \ln |x|$, $x = e^t$ 则 $\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}$ 可推出

• $xy' = \dfrac{dy}{dt} = Dy$
• $x^2 y'' = \dfrac{d^2 y}{dt^2} - \dfrac{dy}{dt} = D(D-1)y$
• …
• $x^n y^{(n)} = D(D-1)\cdots(D-n+1)y$ 即可转换为常系数线性微分方程:

$$\cdots + D(D-1)y + Dy = f(e^t)$$

对于二阶欧拉方程

$$x^2 y'' + pxy' + qy = f(x)$$

可化为

$$\dfrac{d^2 y}{dt^2} + (p-1) \dfrac{dy}{dt} + qy = f(e^t)$$

进而求解