点线面位置关系

	点	线	面
点	点到点距离	[#点到直线距离]]	[[#点到平面距离](#点到直线距离]]
线	点到直线的投影、对称点	[#两直线夹角]]，[[#直线共面异面]]，[[#异面直线距离]]，[[#异面直线求公垂线]]	[[#直线与平面夹角](#两直线夹角]]，[[#直线共面异面]]，[[#异面直线距离]]，[[#异面直线求公垂线]]
面	点到平面的投影、对称点	直线到平面的投影、对称直线、反射直线	[#平面与平面夹角]]，[#平面与平面距离

点到直线距离

已知:

• 点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$
• 直线 $l$ 过 $M_0$ 方向向量 $\mathbf s$ 则 法一(推荐):

$$d(P_0, l) = \dfrac{|\overrightarrow{M_0 P_0} \times \mathbf s|}{|\mathbf s|}$$

法二:

$$d(P_0, l) = \sqrt{|\overrightarrow{M_0 P_0}|^2 - (\overrightarrow{M_0 P_0} \cdot \dfrac{\mathbf s}{|\mathbf s|})^2}$$

点到平面距离

已知:

• 点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$
• 平面 $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$ 则

$$d(P_0, \pi) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

两直线夹角

已知:

• 两直线方向向量 $\mathbf s_1, \mathbf s_2$ 则

$$\theta = (\hat{\mathbf s_1, \mathbf s_2})$$

注意

$\theta$ 取较小的位于 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 范围的角

直线共面异面

已知:

• 直线 $l_1$ 过 $M_1$ 方向向量 $\mathbf s_1$
• 直线 $l_2$ 过 $M_2$ 方向向量 $\mathbf s_2$ 则
• $l_1, l_2$ 共面 $\iff$ $\overrightarrow{M_1 M_2}, \mathbf s_1, \mathbf s_2$ 共面 $\iff$ $[\overrightarrow{M_1 M_2}, \mathbf s_1, \mathbf s_2] = 0$
• $l_1, l_2$ 异面 $\iff$ $\overrightarrow{M_1 M_2}, \mathbf s_1, \mathbf s_2$ 异面 $\iff$ $[\overrightarrow{M_1 M_2}, \mathbf s_1, \mathbf s_2] \neq 0$

异面直线距离

已知:

• 直线 $l_1, l_2$ 异面
• 直线 $l_1$ 过 $M_1$ 方向向量 $\mathbf s_1$
• 直线 $l_2$ 过 $M_2$ 方向向量 $\mathbf s_2$ 则 $\mathbf n = \mathbf s_1 \times \mathbf s_2$ 是公垂线的方向向量

$$d(l_1, l_2) = |\overrightarrow{M_1 M_2} \cdot \dfrac{\mathbf n}{|\mathbf n|}| = \dfrac{|[\overrightarrow{M_1 M_2}, \mathbf s_1, \mathbf s_2]|}{|\mathbf s_1 \times \mathbf s_2|}$$

异面直线求公垂线

法一: 因为公垂线是 由 $l_1$ 和 $\mathbf n$ 构成的平面 与 由 $l_2$ 和 $\mathbf n$ 构成的平面 的交线

令 $M(x, y, z)$, 则 由 $l_1$ 和 $\mathbf n$ 构成的平面(平面方程#标准式方程):

$$[\overrightarrow{M_1 M}, \mathbf s_1, \mathbf s_1 \times \mathbf s_2]$$

由 $l_2$ 和 $\mathbf n$ 构成的平面(平面方程#标准式方程):

$$[\overrightarrow{M_1 M}, \mathbf s_2, \mathbf s_1 \times \mathbf s_2]$$

联立即得公垂线

法二: 设公垂线过 $l_1$ 上点 $P_1$, 过 $l_2$ 上点 $P_2$

$$P_1 = M_1 + t \mathbf s_1$$

$$P_2 = M_2 + t \mathbf s_2$$

通过方程

$$\overrightarrow{P_1 P_2} \parallel \mathbf n = \mathbf s_1 \times \mathbf s_2$$

即可解得 $P_1, P_2$ 通过直线方程#两点式方程即可获得公垂线方程

直线与平面夹角

已知:

• 直线方向向量 $\mathbf s$
• 平面法向量 $\mathbf n$ 则

$$\sin \theta = \cos (\hat{\mathbf s, \mathbf n})$$

注意

$\theta$ 取较小的位于 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 范围的角

平面与平面夹角

已知:

• 平面 $\pi_1$ 法向量 $\mathbf n_1$
• 平面 $\pi_2$ 法向量 $\mathbf n_2$ 则

$$\theta = (\hat{\mathbf n_1, \mathbf n_2})$$

注意

$\theta$ 取较小的位于 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 范围的角

平面与平面距离

已知:

• 平面 $\pi_1 \parallel \pi_2$
• 平面 $\pi_1$: $Ax + By + Cz + D_1 = 0$
• 平面 $\pi_2$: $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ 则

$$d(\pi_1, \pi_2) = \dfrac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$