直线方程

参数式方程

已知:

• 直线过 $M_0(x_0, y_0, z_0)$
• 方向向量 $\mathbf s = (m, n, p)$ 设 $M(x, y, z)$ 在直线上 有 $\overrightarrow{M_0 M} \parallel \mathbf s$ $\iff$ $\overrightarrow{M_0 M} = t \mathbf s$

$$\begin{cases} x = x_0 + tm \\ y = y_0 + tn \\ z = z_0 + tp \end{cases}$$

向量式方程

$$\mathbf r = \mathbf r_0 + t \mathbf s$$

标准式方程(点向式方程)

$$\dfrac{x-x_0}{m} = \dfrac{y-y_0}{n} = \dfrac{z-z_0}{p}$$

注意

当分母为零时, 代表分子也为零 例如: $m=0$ 时, 方程实际表示 $x=x_0$ 且 $\dfrac{y-y_0}{n} = \dfrac{z-z_0}{p}$

两点式方程

已知:

• 直线过不同的两点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$, $P_2(x_2, y_2, z_2)$ 可利用#标准式方程(点向式方程)结论: 方向向量 $\mathbf s = \overrightarrow{P_1 P_2}$

$$\dfrac{x-x_0}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_0}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_0}{z_2-z_1}$$

一般方程

两个平面联立的交线

$$\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \\ \end{cases}$$

($A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2$)

通过两平面法向量 $\mathbf n_1 = (A_1, B_1, C_1)$, $\mathbf n_2 = (A_2, B_2, C_2)$$\begin{cases} \overrightarrow{M_0 M} \perp \mathbf n_1, \\ \overrightarrow{M_0 M} \perp \mathbf n_2 \end{cases}$ 则 $\overrightarrow{M_0 M} \parallel (\mathbf n_1 \times \mathbf n_2)$ 可转化为#标准式方程(点向式方程)