向量

单位向量: $\mathbf a^0 = \dfrac{\mathbf a}{|\mathbf a|}$

向量积

• 内积: 点积 $\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^n a_i b_i$
  • 满足交换律
  • 内积 = 0 $\iff$ $\mathbf a \perp \mathbf b$
  • 向量夹角 $(\hat{\mathbf a, \mathbf b}) = \arccos \dfrac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}$
• 外积: 叉乘 $\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
  • 满足反交换律: $\mathbf a \times \mathbf b = -\mathbf b \times \mathbf a$
  • 外积 = 0 $\iff$ $\mathbf a \parallel \mathbf b$
  • 平行四边形面积 $S = |\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b| \sin \theta$
• 混合积: $[\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c] = (\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$
  • 满足奇置换改变符号, 偶置换不改变符号
  • 混合积 = 0 $\iff$ $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ 共面 (线性相关)
  • 平行六面体体积 $V = |[\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c]|$

投影与投影向量

• 投影(数量): $(\mathbf b)_{\mathbf a} = |\mathbf b| \cos \theta = \dfrac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a|}$
• 投影向量(向量): $proj_{\mathbf a} \mathbf b = (\mathbf b)_\mathbf a \cdot \mathbf a^0 = \dfrac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a|} \cdot \dfrac{\mathbf a}{|\mathbf a|}$