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直线方程

Kamimika...大约 1 分钟学习笔记

直线方程

参数式方程

已知:

  • 直线过 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)
  • 方向向量 s=(m,n,p)\mathbf s = (m, n, p)M(x,y,z)M(x, y, z) 在直线上 有 M0Ms\overrightarrow{M_0 M} \parallel \mathbf s     \iff M0M=ts\overrightarrow{M_0 M} = t \mathbf s

{x=x0+tmy=y0+tnz=z0+tp \begin{cases} x = x_0 + tm \\ y = y_0 + tn \\ z = z_0 + tp \end{cases}

向量式方程

r=r0+ts \mathbf r = \mathbf r_0 + t \mathbf s

标准式方程(点向式方程)

xx0m=yy0n=zz0p \dfrac{x-x_0}{m} = \dfrac{y-y_0}{n} = \dfrac{z-z_0}{p}

注意

当分母为零时, 代表分子也为零 例如: m=0m=0 时, 方程实际表示 x=x0x=x_0yy0n=zz0p\dfrac{y-y_0}{n} = \dfrac{z-z_0}{p}

两点式方程

已知:

  • 直线过不同的两点 P1(x1,y1,z1)P_1(x_1, y_1, z_1), P2(x2,y2,z2)P_2(x_2, y_2, z_2) 可利用#标准式方程(点向式方程)结论: 方向向量 s=P1P2\mathbf s = \overrightarrow{P_1 P_2}

xx0x2x1=yy0y2y1=zz0z2z1 \dfrac{x-x_0}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_0}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_0}{z_2-z_1}

一般方程

两个平面联立的交线

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \\ \end{cases}

(A1:B1:C1A2:B2:C2A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2)

通过两平面法向量 n1=(A1,B1,C1)\mathbf n_1 = (A_1, B_1, C_1), n2=(A2,B2,C2)\mathbf n_2 = (A_2, B_2, C_2){M0Mn1,M0Mn2\begin{cases} \overrightarrow{M_0 M} \perp \mathbf n_1, \\ \overrightarrow{M_0 M} \perp \mathbf n_2 \end{cases}M0M(n1×n2)\overrightarrow{M_0 M} \parallel (\mathbf n_1 \times \mathbf n_2) 可转化为#标准式方程(点向式方程)

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贡献者: wzh656
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