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平面方程

Kamimika...大约 1 分钟学习笔记

平面方程

点法式方程

已知:

  • 平面过 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)
  • 法向量 n=(A,B,C)\mathbf n = (A, B, C)M(x,y,z)M(x, y, z) 在平面内 有 M0Mn=0\overrightarrow{M_0 M} \cdot \mathbf n = 0

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

一般式方程

Ax+By+Cz+D=0 Ax + By + Cz + D = 0

法向量: n=(A,B,C)\mathbf n = (A, B, C)

  • A=0A = 0     \iff 平面平行于 xx
  • A=B=0A = B = 0     \iff 平面平行于 xOyxOy 平面
  • D=0D = 0     \iff 平面过原点
  • A=D=0A = D = 0     \iff 平面过 xx

标准式方程

已知:

  • 平面过 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)
  • 平行于两个不共线的向量 u=(u1,u2,u3)\mathbf u = (u_1, u_2, u_3), v=(v1,v2,v3)\mathbf v = (v_1, v_2, v_3)M(x,y,z)M(x, y, z) 在平面内 可利用#点法式方程结论: 法向量 n=u×v\mathbf n = \mathbf u \times \mathbf vM0M(u×v)=0\overrightarrow{M_0 M} \cdot (\mathbf u \times \mathbf v) = 0

[M0M,u,v]=0 [\overrightarrow{M_0 M}, \mathbf u, \mathbf v] = 0

xx0yy0zz0u1u2u3v1v2v3=0 \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0

即: M0M\overrightarrow{M_0 M}u,v\mathbf u, \mathbf v 共面

三点式方程

已知:

  • 平面过不共线三点 P1(x1,y1,z1)P_1(x_1, y_1, z_1), P2(x2,y2,z2)P_2(x_2, y_2, z_2), P3(x3,y3,z3)P_3(x_3, y_3, z_3) 可利用#标准式方程结论: 令 u=P1P2\mathbf u = \overrightarrow{P_1 P_2}, v=P1P3\mathbf v = \overrightarrow{P_1 P_3}

xx0yy0zz0x2x1y2y1z2z1x3x1y3y1z3z1=0 \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0

截距式方程

已知:

  • 平面与 x,y,zx, y, z 轴交点 (a,0,0)(a, 0, 0), (0,b,0)(0, b, 0), (0,0,c)(0, 0, c) (a,b,ca, b, c 均不为0) 则

xa+yb+zc=1 \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1

平面束方程

经过平面 π1,π2\pi_1, \pi_2 交线的所有平面的方程:

π1+λπ2 \pi_1 + \lambda \pi_2

注意

注意该方程不包含 π2\pi_2, 需另行补充对 π2\pi_2 的讨论

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贡献者: wzh656
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