已知:
- 平面过 M0(x0,y0,z0)
- 法向量 n=(A,B,C) 设 M(x,y,z) 在平面内 有 M0M⋅n=0 得
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
Ax+By+Cz+D=0
法向量: n=(A,B,C)
- A=0 ⟺ 平面平行于 x 轴
- A=B=0 ⟺ 平面平行于 xOy 平面
- D=0 ⟺ 平面过原点
- A=D=0 ⟺ 平面过 x 轴
已知:
- 平面过 M0(x0,y0,z0)
- 平行于两个不共线的向量 u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) 设 M(x,y,z) 在平面内 可利用#点法式方程结论: 法向量 n=u×v 则 M0M⋅(u×v)=0
[M0M,u,v]=0
x−x0u1v1y−y0u2v2z−z0u3v3=0
即: M0M 与 u,v 共面
已知:
- 平面过不共线三点 P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) 可利用#标准式方程结论: 令 u=P1P2, v=P1P3 得
x−x0x2−x1x3−x1y−y0y2−y1y3−y1z−z0z2−z1z3−z1=0
已知:
- 平面与 x,y,z 轴交点 (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) (a,b,c 均不为0) 则
ax+by+cz=1
经过平面 π1,π2 交线的所有平面的方程:
π1+λπ2
注意
注意该方程不包含 π2, 需另行补充对 π2 的讨论