若 f∈C[a,b], F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 内的一个原函数, 则
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ba
又称: 牛顿-莱布尼茨公式
注意
注意: 可积 = 存在原函数 可积 ⇏ 存在原函数: 含第一类间断点的函数可积, 但一定不存在原函数 可积 ⇍ 存在原函数: 存在 F′(x)=f(x) 但 f(x) 无界, 一定不可积 例如: F(x)=⎩⎨⎧x2sinx210,0<x≤1,x=0
可积 = 有定积分 = 有不定积分 = 有原函数
提示
连续函数一定有原函数 f∈D⟹f∈C⇏f∈R⟹∃F′(x)=f(x)