不等式

柯西-施瓦兹不等式

$$\int_a^b f^2(x) dx \cdot \int_a^b g^2(x) dx \geq \left(\int_a^b f(x) g(x) dx\right)^2$$

即: 平方和积 $\geq$ 积和平方 注: “和”指积分(黎曼和)

提示

只需要将积分定义成内积，即可用线性代数证明

Jensen不等式

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 下凸, 则

$$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(g(x)) dx \geq f(\dfrac{1}{b-a} \int_a^b g(x) dx)$$

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上凸, 则

$$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(g(x)) dx \leq f(\dfrac{1}{b-a} \int_a^b g(x) dx)$$

即: 下凸先套后积大, 上凸先积后套大