微分中值定理

罗尔定理 (Rolle)

$f(x)$ 满足

• 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
• 在开区间 $(a, b)$ 上可导
• $f(a) = f(b)$ 则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$

逆否命题$f(x) \in C[a, b] \cap D(a, b)$, $\forall x \in (a, b)$, $f'(x) \neq 0$, 则 $\forall x_1, x_2 \in [a, b], f(x_1) \neq f(x_2)$, 即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 映射的分类#单射|单射

拉格朗日定理 (Lagrange)

$f(x)$ 满足

• 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
• 在开区间 $(a, b)$ 上可导 则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b} = f'(\xi)$

变形$f(a)-f(b) = (a-b)f'(\xi)$

证明微分中值定理#罗尔定理|罗尔定理 + 构造 $F(x) = f(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

提示

同名函数时想到使用拉格朗日中值定理

柯西中值定理 (Cathy)

$f(x)$, $g(x)$ 满足

• 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
• 在开区间 $(a, b)$ 上可导
• $g'(x) \neq 0$ 则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}$