费马定理

函数的极值

设 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 有定义, 若 $\exists \delta > 0, \forall x \in U(x_0, \delta)$, 有 $f(x) \leq f(x_0)$ ($f(x) \geq f(x_0)$), 则 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的极大值(极小值), 点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点(极小值点)

若 $\exists \delta > 0, \forall x \in \mathop{U}\limits^\circ(x_0, \delta)$, 有 $f(x) < f(x_0)$ ($f(x) > f(x_0)$), 则$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的严格极大值(严格极小值), 点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的严格极大值点(严格极小值点)

驻点

若 $f'(x_0)=0$, 则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的驻点

注意

可导极值点 $\Rightarrow$ 驻点, 但驻点 $\nRightarrow$ 可导极值点(可能不可导?非极值点?)

费马定理

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 取得极值, 且在 $x_0$ 可导, 则 $f'(x_0) = 0$

即: 可导极值点 $\to$ $f'(x_0)=0$ (驻点)

推论

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最值在 $I$ 内的点 $x_0$ 处取得, 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 则 $f'(x_0) = 0$

即: 内部可导最值点 $\to$ $f'(x_0)=0$ (驻点)

提示

$f(x)$ 无需连续条件 该推论常用于证明中值定理及各种导数为零的问题