泰勒公式

通式

$$f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \cdots$$

n阶泰勒多项式

$$P_n(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

带佩亚诺余项的泰勒公式

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导

$$f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) \qquad (x \to x_0)$$

特点: 局部近似($x \to x_0$), 无法求误差范围

特例: $n=0$ 时, $f(x) = f(x_0) + o((x-x_0))$ 为微分的定义

注意

注意: $o(x)$ 表示比 $x$ 高阶的无穷小, 括号中 $x$ 必须是无穷小, 必须带上余项才能写等号

带拉格朗日余项的泰勒公式

若 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的开区间 $(a, b)$ 内 $n+1$ 阶可导

$$f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad (\xi 介于 x 和 x_0 之间)$$

特点: 区间近似, 可计算误差范围

特例: $n=0$ 时, $f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0)$ 为拉格朗日中值定理

麦克劳林公式

泰勒公式在 $x_0 = 0$ 展开的特殊情况

常见函数的麦克劳林公式

(需背诵)

• $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$
• $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$
• $\sin x = \dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2} + \cdots$
• $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2 + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots + \dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \cdots$

提示

可参照高阶导数#常见公式