连续函数 把 闭区间 映为 闭区间
若 f(x)∈C[a,b], 则 f 在 [a,b] 上有界
证明: 反证法 + 二分法 + 闭区间套定理
若 f(x)∈C[a,b], 则 ∃ξ,η∈[a,b], 使 f(ξ)=M=maxx∈[a,b]f(x), f(η)=m=minx∈[a,b]f(x)
即: 最值可达
证明: 构造 g(x)=M−f(x)1
若 f(x)∈C[a,b], 且 f(a)f(b)<0, 则 ∃ξ∈(a,b), 使 f(ξ)=0
证明: 二分法 + [闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质](闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质)
若 f(x)∈C[a,b], 且 f(a)=f(b), 则对于介于 f(a),f(b) 间的任意值 c, ∃ξ∈[a,b], 使 f(ξ)=c
即: 介值可达
证明: 构造 F(x)=f(x)−c + 闭区间连续函数的性质#零点存在性定理|零点存在性定理