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闭区间连续函数的性质

Kamimika...小于 1 分钟学习笔记

闭区间连续函数的性质

连续函数 把 闭区间 映为 闭区间

有界性定理

f(x)C[a,b]f(x) \in C[a, b], 则 ff[a,b][a, b] 上有界

证明: 反证法 + 二分法 + 闭区间套定理

最大值最小值定理

f(x)C[a,b]f(x) \in C[a, b], 则 ξ,η[a,b]\exists \xi, \eta \in [a, b], 使 f(ξ)=M=maxx[a,b]f(x)f(\xi) = M = max_{x \in [a, b]} f(x), f(η)=m=minx[a,b]f(x)f(\eta) = m = min_{x \in [a, b]} f(x)

即: 最值可达

证明: 构造 g(x)=1Mf(x)g(x) = \dfrac{1}{M-f(x)}

零点存在性定理

f(x)C[a,b]f(x) \in C[a, b], 且 f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, 则 ξ(a,b)\exists \xi \in (a, b), 使 f(ξ)=0f(\xi) = 0

证明: 二分法 + [闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质](闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质)

介值定理

f(x)C[a,b]f(x) \in C[a, b], 且 f(a)f(b)f(a) \neq f(b), 则对于介于 f(a),f(b)f(a), f(b) 间的任意值 cc, ξ[a,b]\exists \xi \in [a, b], 使 f(ξ)=cf(\xi) = c

即: 介值可达

证明: 构造 F(x)=f(x)cF(x) = f(x) - c + 闭区间连续函数的性质#零点存在性定理|零点存在性定理

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贡献者: wzh
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