闭区间连续函数的性质

连续函数 把 闭区间 映为 闭区间

有界性定理

若 $f(x) \in C[a, b]$, 则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界

证明: 反证法 + 二分法 + 闭区间套定理

最大值最小值定理

若 $f(x) \in C[a, b]$, 则 $\exists \xi, \eta \in [a, b]$, 使 $f(\xi) = M = max_{x \in [a, b]} f(x)$, $f(\eta) = m = min_{x \in [a, b]} f(x)$

即: 最值可达

证明: 构造 $g(x) = \dfrac{1}{M-f(x)}$

零点存在性定理

若 $f(x) \in C[a, b]$, 且 $f(a)f(b) < 0$, 则 $\exists \xi \in (a, b)$, 使 $f(\xi) = 0$

证明: 二分法 + [闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质](闭区间套定理]] + [[极限的不等式性质)

介值定理

若 $f(x) \in C[a, b]$, 且 $f(a) \neq f(b)$, 则对于介于 $f(a), f(b)$ 间的任意值 $c$, $\exists \xi \in [a, b]$, 使 $f(\xi) = c$

即: 介值可达

证明: 构造 $F(x) = f(x) - c$ + 闭区间连续函数的性质#零点存在性定理|零点存在性定理