函数性态

性态包括:

• 函数性态#单调性|单调性
• 函数性态#极值|极值
• 函数性态#最值|最值
• 函数性态#凸性|凸性
• 渐近线
• 函数作图

单调性

单调

设 $f(x) \in C[a, b] \cap D(a, b)$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增(减)$\iff$ $\forall x \in (a, b)$, $f'(x) \geq 0 (\leq 0)$

严格单调

设 $f(x) \in C[a, b] \cap D(a, b)$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调增(减)$\iff$ $\forall x \in (a, b)$, $f'(x) \geq 0 (\leq 0)$且在任意子区间内 $f'(x)$ 不恒为零

注意

严格单调 $\nRightarrow$ $f'(x)>0 (<0)$ 反例: $f(x)=x^3$ 严格单增, 但 $f'(0) = 0$

研究函数单调区间

分区间依据:

• 驻点 ($f'(x_0)=0$)
• 不可导点 ($f'(x_0)$ 不存在)
• 无定义点 ($f(x_0)$ 不存在)

极值

极值第一判别法(充分非必要条件)

设 $f(x) \in C(U(x_0, \delta)) \cap D(\mathop{U}\limits^\circ(x_0, \delta))$,

• 若 $x_0$ 两侧 $f'(x)$ 同号, 则 $x_0$ 非极值点
• 若 $x_0$ 两侧 $f'(x)$ 异号, 则 $x_0$ 是严格极值点
  • 若左侧 $f'(x) < 0$, 右侧 $f'(x)>0$, 则是严格极小值点
  • 若左侧 $f'(x) > 0$, 右侧 $f'(x)<0$, 则是严格极大值点

注意

异号 $\Rightarrow$ 严格极值, 异号 $\nLeftarrow$ 严格极值 反例: 抖动 $f(x) = -2x^2$ 得到 $f(x) = \begin{cases}-x^2(2+\sin \dfrac{1}{x}) &, x \neq 0 \\ 0 &, x = 0 \end{cases}$$x=0$ 为极大值, 但不单调

提示

$f(x)$ 在 $x_0$ 处只需要连续, 不要求可导 例如: $f(x) = |x|$, $x=0$ 不可导但是极小值点

极值第二判别法(充分非必要条件)

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导, 且 $f'(x_0)=0$, 则

• 当 $f''(x_0) < 0$ 时, $f(x)$ 在 $x_0$ 处取严格极大值
• 当 $f''(x_0) > 0$ 时, $f(x)$ 在 $x_0$ 处取严格极小值

最值

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 内仅有一个极值点, 则该点也是最值点

否则需求出全部驻点和不可导点的函数值进行比较求出最值点

凸性

设 $f(x) \in C(I)$,

• 若 $\forall x_1, x_2 \in I, \alpha \in (0, 1)$, $f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)$, 则该函数在 $I$ 上下凸, 若改为 $<$ 则为严格下凸
• 若 $\forall x_1, x_2 \in I, \alpha \in (0, 1)$, $f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \geq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)$, 则该函数在 $I$ 上上凸, 若改为 $>$ 则为严格上凸

凸性第一判别法

设 $f(x) \in D(a, b)$, 若 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 严格单增(减), 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 严格下凸(上凸)

凸性第二判别法

设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上二阶可导,

• 若 $f''(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 下凸
• 若 $f''(x)<0$, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上凸

拐点

若 $x_0$ 为上凸和下凸的分界点, 则 $x_0$ 为拐点

提示

拐点 $\implies$ $f''(x_0)=0$ 或 $f''(x_0)$ 不存在