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函数性态

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

函数性态

性态包括:

单调性

单调

f(x)C[a,b]D(a,b)f(x) \in C[a, b] \cap D(a, b), 则 f(x)f(x)[a,b][a, b]单调增(减)    \iff x(a,b)\forall x \in (a, b), f(x)0(0)f'(x) \geq 0 (\leq 0)

严格单调

f(x)C[a,b]D(a,b)f(x) \in C[a, b] \cap D(a, b), 则 f(x)f(x)[a,b][a, b]严格单调增(减)    \iff x(a,b)\forall x \in (a, b), f(x)0(0)f'(x) \geq 0 (\leq 0)且在任意子区间内 f(x)f'(x) 不恒为零

注意

严格单调 \nRightarrow f(x)>0(<0)f'(x)>0 (<0) 反例: f(x)=x3f(x)=x^3 严格单增, 但 f(0)=0f'(0) = 0

研究函数单调区间

分区间依据:

  • 驻点 (f(x0)=0f'(x_0)=0)
  • 不可导点 (f(x0)f'(x_0) 不存在)
  • 无定义点 (f(x0)f(x_0) 不存在)

极值

极值第一判别法(充分非必要条件)

f(x)C(U(x0,δ))D(U(x0,δ))f(x) \in C(U(x_0, \delta)) \cap D(\mathop{U}\limits^\circ(x_0, \delta)),

  • x0x_0 两侧 f(x)f'(x) 同号, 则 x0x_0 非极值点
  • x0x_0 两侧 f(x)f'(x) 异号, 则 x0x_0 是严格极值点
    • 若左侧 f(x)<0f'(x) < 0, 右侧 f(x)>0f'(x)>0, 则是严格极小值点
    • 若左侧 f(x)>0f'(x) > 0, 右侧 f(x)<0f'(x)<0, 则是严格极大值点

注意

异号 \Rightarrow 严格极值, 异号 \nLeftarrow 严格极值 反例: 抖动 f(x)=2x2f(x) = -2x^2 得到 f(x)={x2(2+sin1x),x00,x=0f(x) = \begin{cases}-x^2(2+\sin \dfrac{1}{x}) &, x \neq 0 \\ 0 &, x = 0 \end{cases}x=0x=0 为极大值, 但不单调

提示

f(x)f(x)x0x_0 处只需要连续, 不要求可导 例如: f(x)=xf(x) = |x|, x=0x=0 不可导但是极小值点

极值第二判别法(充分非必要条件)

f(x)f(x)x0x_0 处二阶可导, 且 f(x0)=0f'(x_0)=0, 则

  • f(x0)<0f''(x_0) < 0 时, f(x)f(x)x0x_0 处取严格极大值
  • f(x0)>0f''(x_0) > 0 时, f(x)f(x)x0x_0 处取严格极小值

最值

f(x)f(x) 在区间 II仅有一个极值点, 则该点也是最值点

否则需求出全部驻点不可导点的函数值进行比较求出最值点

凸性

f(x)C(I)f(x) \in C(I),

  • x1,x2I,α(0,1)\forall x_1, x_2 \in I, \alpha \in (0, 1), f(αx1+(1α)x2)αf(x1)+(1α)f(x2)f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2), 则该函数在 II下凸, 若改为 << 则为严格下凸
  • x1,x2I,α(0,1)\forall x_1, x_2 \in I, \alpha \in (0, 1), f(αx1+(1α)x2)αf(x1)+(1α)f(x2)f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \geq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2), 则该函数在 II上凸, 若改为 >> 则为严格上凸

凸性第一判别法

f(x)D(a,b)f(x) \in D(a, b), 若 f(x)f'(x)(a,b)(a, b) 严格单增(减), 则 f(x)f(x)(a,b)(a, b) 严格下凸(上凸)

凸性第二判别法

f(x)f(x)(a,b)(a, b) 上二阶可导,

  • f(x)>0f''(x)>0, 则 f(x)f(x)(a,b)(a, b) 下凸
  • f(x)<0f''(x)<0, 则 f(x)f(x)(a,b)(a, b) 上凸

拐点

x0x_0 为上凸和下凸的分界点, 则 x0x_0 为拐点

提示

拐点     \implies f(x0)=0f''(x_0)=0f(x0)f''(x_0) 不存在

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贡献者: wzh
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