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泰勒公式

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

泰勒公式

通式

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+ f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \cdots

n阶泰勒多项式

Pn(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n P_n(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

带佩亚诺余项的泰勒公式

f(x)f(x)x0x_0nn 阶可导

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n)(xx0) f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) \qquad (x \to x_0)

特点: 局部近似(xx0x \to x_0), 无法求误差范围

特例: n=0n=0 时, f(x)=f(x0)+o((xx0))f(x) = f(x_0) + o((x-x_0)) 为微分的定义

注意

注意: o(x)o(x) 表示比 xx 高阶的无穷小, 括号中 xx 必须是无穷小, 必须带上余项才能写等号

带拉格朗日余项的泰勒公式

f(x)f(x) 在包含 x0x_0 的开区间 (a,b)(a, b)n+1n+1 阶可导

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1(ξ介于xx0之间) f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad (\xi 介于 x 和 x_0 之间)

特点: 区间近似, 可计算误差范围

特例: n=0n=0 时, f(x)=f(x0)+f(ξ)(xx0)f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x - x_0) 为拉格朗日中值定理

麦克劳林公式

泰勒公式在 x0=0x_0 = 0 展开的特殊情况

常见函数的麦克劳林公式

(需背诵)

  • ex=1+x+x22!+x33!++xnn!+e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots
  • ln(1+x)=xx22+x33+(1)n+1xnn!+\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n!} + \cdots
  • sinx=x1!x33!+x55!+(1)n1x2n1(2n1)2+\sin x = \dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2} + \cdots
  • cosx=1x22!+x44!+(1)nx2n(2n)!+\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots
  • (1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2+α(α1)(α2)3!x3++α(α1)(αn+1)n!xn+(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2 + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots + \dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \cdots

提示

求函数泰勒公式既可用常见函数,对于可求n阶导数的函数也可用直接求导法

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贡献者: wzh
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