f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+⋯
n阶泰勒多项式
Pn(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n
若 f(x) 在 x0 处 n 阶可导
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)(x→x0)
特点: 局部近似(x→x0), 无法求误差范围
特例: n=0 时, f(x)=f(x0)+o((x−x0)) 为微分的定义
注意
注意: o(x) 表示比 x 高阶的无穷小, 括号中 x 必须是无穷小, 必须带上余项才能写等号
若 f(x) 在包含 x0 的开区间 (a,b) 内 n+1 阶可导
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(ξ介于x和x0之间)
特点: 区间近似, 可计算误差范围
特例: n=0 时, f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0) 为拉格朗日中值定理
泰勒公式在 x0=0 展开的特殊情况
(需背诵)
- ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+⋯
- ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯+(−1)n+1n!xn+⋯
- sinx=1!x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)n−1(2n−1)2x2n−1+⋯
- cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n+⋯
- (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+3!α(α−1)(α−2)x3+⋯+n!α(α−1)…(α−n+1)xn+⋯
提示
求函数泰勒公式既可用常见函数,对于可求n阶导数的函数也可用直接求导法