常见反例

跳跃

$$\begin{cases} &x&, x < 0, \\ &x+2&, x \geq 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} &\ln(1+x)&, x > 0, \\ &x&, x \leq 0 \end{cases}$$

加入抖动

$$\begin{cases} &x^2 \sin \dfrac{1}{x} &, x \neq 0, \\ &0 &, x = 0 \end{cases}$$

时不时间断（不连续、无极限但可积）

$$\begin{cases} 0, x = [x] \\ 1, x \neq [x] \end{cases}$$