设函数 y=f(x), 若
- 在实心邻域 U(x0) 有定义
- limx→x0f(x) 存在(有限数)
- limx→x0f(x)=f(x0) 则 f(x) 在 x0 处连续;否则 x0 是 f(x) 的间断点
若函数 f(x)
- 在 x0 的左(右)邻域内有定义
- limx→x0−f(x) (limx→x0+f(x))存在
- limx→x0−f(x)=f(x0) (limx→x0+f(x)=f(x0))
注意
证明连续性需证明 f(x0)=limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x) 不要忘了 f(x0)
f(x) 在区间内每一点都连续 在闭区间端点 单侧连续
f(x) 在区间 I 上连续记作 f∈C(I)
- 第一类间断点 左右极限均存在
- 可去间断点: 左右极限相等(可通过补充定义变为连续)
- 跳跃间断点: 左右极限不相等
- 第二类间断点 左右极限至少一个不存在
- 无穷型: 左/右极限为无穷, 如f(x)=x1
- 震荡型: 函数值不断变动无限多次, 如 f(x)=sinx1
- 无穷震荡型: 如 f(x)=x1sinx1
- …
初等函数在定义域内一定是连续的
需讨论连续性的情况:
- 在分段函数分段点处
- 本身无定义,但在空心邻域内有定义的, 如: x1(x=0), 而 x∈(1,2),(x=3) 则无需(离太远)