函数的连续性

定义

点连续

设函数 $y=f(x)$, 若

1. 在实心邻域 $U(x_0)$ 有定义
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在(有限数)
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续；否则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点

左(右)连续

若函数 $f(x)$

1. 在 $x_0$ 的左(右)邻域内有定义
2. $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ ($\lim_{x \to x_0^+} f(x)$)存在
3. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ ($\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$)

注意

证明连续性需证明 $f(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 不要忘了 $f(x_0)$

区间连续

$f(x)$ 在区间内每一点都连续 在闭区间端点 单侧连续

$f(x)$ 在区间 $I$ 上连续记作 $f \in C(I)$

间断点的分类

• 第一类间断点 左右极限均存在
  • 可去间断点: 左右极限相等(可通过补充定义变为连续)
  • 跳跃间断点: 左右极限不相等
• 第二类间断点 左右极限至少一个不存在
  • 无穷型: 左/右极限为无穷, 如$f(x)=\dfrac{1}{x}$
  • 震荡型: 函数值不断变动无限多次, 如 $f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$
  • 无穷震荡型: 如 $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$
  • …

需讨论连续性的情况

初等函数在定义域内一定是连续的

需讨论连续性的情况：

1. 在分段函数分段点处
2. 本身无定义，但在空心邻域内有定义的, 如: $\dfrac{1}{x} (x=0)$, 而 $x \in (1,2), (x=3)$ 则无需(离太远)