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函数的连续性

Kamimika...大约 1 分钟学习笔记

函数的连续性

定义

点连续

设函数 y=f(x)y=f(x), 若

  1. 在实心邻域 U(x0)U(x_0) 有定义
  2. limxx0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) 存在(有限数)
  3. limxx0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)f(x)f(x)x0x_0连续;否则 x0x_0f(x)f(x)间断点

左(右)连续

若函数 f(x)f(x)

  1. x0x_0 的左(右)邻域内有定义
  2. limxx0f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x) (limxx0+f(x)\lim_{x \to x_0^+} f(x))存在
  3. limxx0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) (limxx0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0))

注意

证明连续性需证明 f(x0)=limxx0f(x)=limxx0+f(x)f(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) 不要忘了 f(x0)f(x_0)

区间连续

f(x)f(x) 在区间内每一点都连续 在闭区间端点 单侧连续

f(x)f(x) 在区间 II 上连续记作 fC(I)f \in C(I)

间断点的分类

  • 第一类间断点 左右极限均存在
    • 可去间断点: 左右极限相等(可通过补充定义变为连续)
    • 跳跃间断点: 左右极限不相等
  • 第二类间断点 左右极限至少一个不存在
    • 无穷型: 左/右极限为无穷, 如f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}
    • 震荡型: 函数值不断变动无限多次, 如 f(x)=sin1xf(x)=\sin\dfrac{1}{x}
    • 无穷震荡型: 如 f(x)=1xsin1xf(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}

需讨论连续性的情况

初等函数在定义域内一定是连续的

需讨论连续性的情况:

  1. 在分段函数分段点处
  2. 本身无定义,但在空心邻域内有定义的, 如: 1x(x=0)\dfrac{1}{x} (x=0), 而 x(1,2),(x=3)x \in (1,2), (x=3) 则无需(离太远)
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贡献者: wzh
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