线性变换

定义

满足线性性: $\mathscr A(k \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) = k\mathscr A (\boldsymbol \alpha) + \mathscr A(\boldsymbol \beta)$

矩阵

$$\begin{cases} \mathscr A(\boldsymbol \varepsilon_1) = a_{11} \boldsymbol \varepsilon_1 + a_{21} \boldsymbol \varepsilon_2 + \cdots + a_{n1} \boldsymbol \varepsilon_n, \\ \mathscr A(\boldsymbol \varepsilon_2) = a_{12} \boldsymbol \varepsilon_1 + a_{22} \boldsymbol \varepsilon_2 + \cdots + a_{n2} \boldsymbol \varepsilon_n, \\ \vdots \\ \mathscr A(\boldsymbol \varepsilon_n) = a_{1n} \boldsymbol \varepsilon_1 + a_{2n} \boldsymbol \varepsilon_2 + \cdots + a_{nn} \boldsymbol \varepsilon_n, \\ \end{cases}$$

即

$$\mathscr A(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n) = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n) \mathbf A$$

其中

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

为线性变换 $\mathscr A$ 在基 $\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n$ 下的矩阵

注意

注意和方程的下标是转置的

向量与坐标

向量 $\boldsymbol \alpha$ 在 $\mathbf A = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n)$ 下坐标 $\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 代表 $\boldsymbol \alpha = \mathbf A \mathbf x$

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由基变换公式 $\mathbf B = \mathbf A \mathbf C$ 得 在 $\mathbf B = (\boldsymbol \eta_1, \boldsymbol \eta_2, \cdots, \boldsymbol \eta_n)$ 下有 $\boldsymbol \alpha = \mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf x$ 坐标 $\mathbf y = \mathbf C^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

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对于线性变换 $\mathbfscr A$ 坐标上 $\mathscr A (\boldsymbol \alpha) = \mathscr A (\mathbf A \mathbf x) = \mathbf A (\mathbf D \mathbf x)$ 在原基底下坐标变为 $\mathbf D \mathbf x$

因为 $\mathscr A (\mathbf A) = \mathbf A \mathbf D$ 所以 $\mathbf D$ 为 $\mathscr A$ 在基底 $\mathbf A$ 下的矩阵

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在另一组基 $\mathbf B = (\boldsymbol \eta_1, \boldsymbol \eta_2, \cdots, \boldsymbol \eta_n)$ 下 $\mathscr A (\boldsymbol \alpha) = \mathscr A (\mathbf A \mathbf x) = \mathscr A (\mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf x) = \mathscr A (\mathbf B \mathbf y) = \mathbf A \mathbf D \mathbf x = \mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf D \mathbf x = \mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf D \mathbf C \mathbf y$ 且 $\mathscr A (\mathbf B) = \mathscr A (\mathbf A \mathbf C) = \mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf D \mathbf C$ 所以 $\mathbf C^{-1} \mathbf D \mathbf C$ 为 $\mathscr A$ 在基底 $\mathbf A$ 下的矩阵