内积与长度

内积

若 $\forall \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$, 有 $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) \in \mathbb R$ 且满足

1. 对称性: $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \beta, \boldsymbol \alpha)$
2. 线性性: $(k\boldsymbol \alpha + l\boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma) = k(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \gamma) + l(\boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma)$
3. 正定性: $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) \geq 0$, 且 $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) = 0$ 当且仅当 $\boldsymbol \alpha = \mathbf 0$ 则称 $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta)$ 为 $\boldsymbol \alpha$ 和 $\boldsymbol \beta$ 的内积, 定义了内积的实线性空间 $V$ 称为一个欧式空间

常见内积类型

• 默认: 点乘 $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = \boldsymbol \alpha^T \boldsymbol \beta$
• $(\mathbf X, \mathbf Y) = \mathbf X^T \mathbf A^T \mathbf A \mathbf Y$
• 连续函数: $(f, g) = \int_a^b f(x) g(x) dx$

长度

称 $|\boldsymbol \alpha| = \sqrt{(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha)}$ 为 $\boldsymbol \alpha$ 的长度 若 $|\boldsymbol \alpha| = 1$ 则称 $\boldsymbol \alpha$ 为单位向量$\dfrac{\boldsymbol \alpha}{|\boldsymbol \alpha|}$ 为向量的单位化

$|\boldsymbol \alpha| \geq 0$, 且 $|\boldsymbol \alpha| = 0$ 当且仅当 $\boldsymbol \alpha = 0$ 时 $k|\boldsymbol \alpha| = |k||\boldsymbol \alpha|$

与内积的关系

$$\begin{align} (\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) &= \dfrac{1}{2}[(\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta, \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) - (\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) - (\boldsymbol \beta, \boldsymbol \beta)] \\ &= \dfrac{1}{2}(|\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta|^2 - |\boldsymbol \alpha|^2 - |\boldsymbol \beta|^2) \end{align}$$

柯西施瓦兹不等式

$$|(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta)| \leq |\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|$$

证明: 构造二次函数 $|t\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta|^2 \geq 0$, 利用 $\Delta \leq 0$ 证明

三角不等式

$$|\boldsymbol \alpha \pm \boldsymbol \beta| \leq |\boldsymbol \alpha| + |\boldsymbol \beta|$$

证明: 同时平方

夹角

$$<\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta> = \arccos \dfrac{(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta)}{|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|}$$

当 $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = 0$ 称 $\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta$ 正交, 即 $\boldsymbol \alpha \perp \boldsymbol \beta$

距离

$$d(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = |\boldsymbol \alpha - \boldsymbol \beta|$$