所有等价关系

1. 相抵$\mathbf B = \mathbf P \mathbf A \mathbf Q$ ($\mathbf P, \mathbf Q$ 为可逆矩阵)
2. 相似 $\leftarrow$ 相抵 $\mathbf B = \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P$
3. 正交相似 $\leftarrow$ 相似 + 合同 $\mathbf B = \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P = \mathbf P^T \mathbf A \mathbf P$ ($\mathbf P^{-1} = \mathbf P^T$, $\mathbf P$ 为正交矩阵)
4. 合同 $\leftarrow$ 相抵 $\mathbf B = \mathbf P^T \mathbf A \mathbf P$ ($\mathbf P$ 为可逆矩阵)

四种都是等价关系

相抵	相似	正交相似	合同
	相抵	相似 + 合同	相抵
$\mathbf B = \mathbf P \mathbf A \mathbf Q$	$\mathbf B = \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P$	$\mathbf B = \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P = \mathbf P^T \mathbf A \mathbf P$	$\mathbf B = \mathbf P^T \mathbf A \mathbf P$
$\mathbf A \cong \mathbf B$	$\mathbf A \sim \mathbf B$		$\mathbf A \simeq \mathbf B$
相同的秩($r(\mathbf A) = r(\mathbf B)$)	相同的特征值($\lambda_i$)、行列式($\prod \lambda_i$)、迹($\sum \lambda_i$)		正负惯性指数相等($p, q$), 正定性不变
初等变换的乘积	对角化	实对称矩阵必能正交相似与对角阵	判断正负定矩阵

注意

判断矩阵是否满足等价关系可以通过性质排除特征不相同的选项

注意

注意：对于实对称矩阵, 相似 $\iff$ 正交相似, 但 合同 $\nRightarrow$ 正交相似 若 $\mathbf A \sim \mathbf B$, 则 $\mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P = \mathbf P^T \mathbf A \mathbf P = \mathbf \Lambda$$\mathbf Q^{-1} \mathbf B \mathbf Q = \mathbf Q^T \mathbf B \mathbf Q = \mathbf \Lambda$ 所以 $\mathbf A = \mathbf P \mathbf Q^{-1} \mathbf B \mathbf Q \mathbf P^{-1} = \mathbf P \mathbf Q^T \mathbf B \mathbf Q \mathbf P^T$ 故 $\mathbf A, \mathbf B$ 正交相似

但 $\mathbf A \simeq \mathbf B$ 则无相关结论, 故不可推出相似