基与坐标

基

若 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n$ 是 $V$ 的极大线性无关组 则称 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基, 所含向量数 $n = dim(V) = r(V)$ 为 $V$ 的维数 也称 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 记作 $V_n$

坐标

若 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, $\boldsymbol \gamma \in V$, 满足

$$\boldsymbol \gamma = x_1 \boldsymbol \alpha_1 + x_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + x_n \boldsymbol \alpha_n = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n) \mathbf x$$

则称 $\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 为 $\boldsymbol \gamma$ 在基 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n$ 下的坐标