极限的求法

1. 定义法: $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb N, \forall n > N, |x_n - A| < \varepsilon$
2. [有理函数]] / [[函数的连续性|连续函数](有理函数]] / [[函数的连续性|连续函数) $\to$ 极限值是函数值
3. 根式 $\to$ 有理化 $(1+x)^\dfrac{1}{n} - 1 = \dfrac{x}{(1+x)^\dfrac{n-1}{n} + (1+x)^\dfrac{n-2}{n} + \cdots + (1+x)^\dfrac{1}{n} + 1}$
4. 分式 $\to$ 上下同时除以最高次
5. 配凑法
6. 三角函数 $\to$ 配凑 $\pm (n)\pi$
7. 已知极限条件 $\to$ 已知 $x_n \to A$, 令 $x_n = A + \alpha_n (\alpha_n \to 0)$
8. 已知极限条件 $\to$ 取定 $\varepsilon_0$ （有时不需要刚刚好合适，反而需要适当缩放）
9. 子列,$\forall \exists$ $\to$ 取定构造数列
10. 夹逼定理与放缩
11. 递推数列 $\to$ 先设存在求不动点,再证存在([夹逼定理]]) / [压缩映像原理 / [[压缩映像原理)
12. 单调有界极限存在定理
    1. $\tan x, \sin \frac{1}{x}, \frac{1}{x}(x \to 0),$ 分段函数, 绝对值 $\to$ 双侧看单侧
13. 函数极限 $\iff$ 数列极限 (数列与函数极限对比)
14. 换元法
15. 三角/幂指数 $\to$ 重要极限及其推论|构造重要极限
16. 不定式 $\to$ [等价无穷小]] / [[洛必达法则|洛必达定理](等价无穷小]] / [[洛必达法则|洛必达定理)
17. 常见的极限
    • $\dfrac{1}{n^k} \to 0, (k > 0)$
    • $q^n \to 0, (|q| < 1)$
    • $\sqrt[n] a \to 1, (a > 0)$
    • $\sqrt[n] n \to 1$
    • $(1 + \dfrac{1}{n})^n \to e$
18. 等价无穷小
19. 洛必达法则
20. 泰勒公式

注意

注意：极限不可能是$\infty$, 此时极限不存在（发散）

$$\left\{ \begin{align} 有界 \Longleftarrow 收敛 \iff 极限存在 (\to A \in \mathbb R) \Longleftarrow 连续 \\ 无界 \implies 发散 \iff 极限不存在 (\to \infty) \implies 间断 \end{align} \right.$$

注意

注意题目给出的是 $n$ (数列极限) 还是 $x$ (函数极限), 可能需要自己说明转换 注意极限的变量