跳至主要內容

极限的求法

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

极限的求法

  1. 定义法: ε>0,NN,n>N,xnA<ε\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb N, \forall n > N, |x_n - A| < \varepsilon
  2. [有理函数]] / [[函数的连续性|连续函数](有理函数]] / [[函数的连续性|连续函数) \to 极限值是函数值
  3. 根式 \to 有理化 (1+x)1n1=x(1+x)n1n+(1+x)n2n++(1+x)1n+1(1+x)^\dfrac{1}{n} - 1 = \dfrac{x}{(1+x)^\dfrac{n-1}{n} + (1+x)^\dfrac{n-2}{n} + \cdots + (1+x)^\dfrac{1}{n} + 1}
  4. 分式 \to 上下同时除以最高次
  5. 配凑法
  6. 三角函数 \to 配凑 ±(n)π\pm (n)\pi
  7. 已知极限条件 \to 已知 xnAx_n \to A, 令 xn=A+αn(αn0)x_n = A + \alpha_n (\alpha_n \to 0)
  8. 已知极限条件 \to 取定 ε0\varepsilon_0有时不需要刚刚好合适,反而需要适当缩放
  9. 子列,\forall \exists \to 取定构造数列
  10. 夹逼定理与放缩
  11. 递推数列 \to 先设存在求不动点,再证存在([夹逼定理]]) / [压缩映像原理 / [[压缩映像原理)
  12. 单调有界极限存在定理
    1. tanx,sin1x,1x(x0),\tan x, \sin \frac{1}{x}, \frac{1}{x}(x \to 0), 分段函数, 绝对值 \to 双侧看单侧
  13. 函数极限     \iff 数列极限 (数列与函数极限对比)
  14. 换元法
  15. 三角/幂指数 \to 重要极限及其推论|构造重要极限
  16. 不定式 \to [等价无穷小]] / [[洛必达法则|洛必达定理](等价无穷小]] / [[洛必达法则|洛必达定理)
  17. 常见的极限
    • 1nk0,(k>0)\dfrac{1}{n^k} \to 0, (k > 0)
    • qn0,(q<1)q^n \to 0, (|q| < 1)
    • an1,(a>0)\sqrt[n] a \to 1, (a > 0)
    • nn1\sqrt[n] n \to 1
    • (1+1n)ne(1 + \dfrac{1}{n})^n \to e
  18. 等价无穷小
  19. 洛必达法则
  20. 泰勒公式

注意

注意:极限不可能是\infty, 此时极限不存在(发散)

{有界收敛    极限存在(AR)连续无界    发散    极限不存在()    间断 \left\{ \begin{align} 有界 \Longleftarrow 收敛 \iff 极限存在 (\to A \in \mathbb R) \Longleftarrow 连续 \\ 无界 \implies 发散 \iff 极限不存在 (\to \infty) \implies 间断 \end{align} \right.

注意

注意题目给出的是 nn (数列极限) 还是 xx (函数极限), 可能需要自己说明转换 注意极限的变量

上次编辑于:
贡献者: wzh
评论
  • 按正序
  • 按倒序
  • 按热度
Powered by Waline v3.4.1