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等价无穷小

Kamimika...小于 1 分钟学习笔记

等价无穷小

定义

limxΔf(x)=limxΔg(x)=0,limxΔf(x)g(x)=l\lim_{x \to \Delta} f(x) = \lim_{x \to \Delta} g(x) = 0, \lim_{x \to \Delta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l,

  • l=0l = 0, 则 f(x)f(x)g(x)g(x)高阶无穷小, 记作 f(x)=o(g(x))(xΔ)f(x) = o(g(x)) (x \to \Delta);
  • l0l \neq 0, 则 f(x)f(x)g(x)g(x)同阶无穷小, 记作 f(x)=O(g(x))(xΔ)f(x) = O(g(x)) (x \to \Delta);
    • l=1l = 1, 则 f(x)f(x)g(x)g(x)等价无穷小, 记作 f(x)g(x)(xΔ)f(x) \sim g(x) (x \to \Delta);

k阶无穷小

limxx0α(x)=0\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0, 且 c0,k>0\exists c \neq 0, k > 0, 使 limxx0α(x)(xx0)k=c\lim_{x \to x_0} \dfrac{\alpha(x)}{(x-x_0)^k} = c, 则当 xx0x \to x_0 时, α(x)\alpha(x)k阶无穷小, c(xx0)kc(x - x_0)^kα(x)\alpha(x)主部 (α(x)=c(xx0)k+o((xx0)k)\alpha(x) = c(x - x_0)^k + o((x - x_0)^k))

警告

注意: α(x)\alpha(x) 是k阶无穷小, 而不是 c阶无穷小

常见的等价无穷小替换

常见的等价无穷小.jpg
常见的等价无穷小.jpg

警告

注意:

  1. 加减法不能用等价无穷小替换
  2. 替换必须保证前后都是无穷小(错误示范: exx+1e^x \sim x + 1)
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贡献者: wzh
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