高阶导数

记号

二阶导数

$y''(x)|_{x=x_0}$, $f''(x_0)$, $\dfrac{d^2 y}{dx^2}|_{x=x_0}$, $\dfrac{d^2 f}{dx^2}|_{x=x_0}$

n阶导数

$y^{(n)}|_{x=x_0}$, $f^{(n)}(x_0)$, $\dfrac{d^n y}{dx^n}|_{x=x_0}$, $\dfrac{d^n f}{dx^n}|_{x=x_0}$

n阶连续可导

$f(x) \in C^{(n)}(I)$

注意

意为: n阶导函数是连续的

无限阶连续可导 $f(x) \in C^{\infty}(I)$

运算法则

线性运算

$$[\alpha u(x) + \beta v(x)]^{(n)} = \alpha u^{(n)}(x) + \beta v^{(n)}(x)$$

莱布尼兹公式

$$[u(x) v(x)]^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$$

(类似二项式定理)

常见公式

• $[(ax+b)^\alpha]^{(n)} = \dfrac{\alpha!}{n!} a^n (ax+b)^{\alpha - n}$
• $(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$
• $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{x^n}$
• $(\sin ax)^{(n)} = a^n \sin (ax + \dfrac{n\pi}{2})$
• $(\cos ax)^{(n)} = a^n \cos (ax + \dfrac{n\pi}{2})$

常见方法

通过求出一阶二阶导数，再同时求n阶导数得到 n阶导数 与 n-1阶 (n-2阶) 导数的递推关系求出n阶导数的通式

隐函数

等式两边同时求导得到 $y'(x)$, 再对 $x$ 求导得到 $y''(x)$

参数方程

$$\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dx} = \dfrac{d\left(\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\right)}{dx} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$

复合函数

见链式法则#二阶导