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微分

Kamimika...小于 1 分钟学习笔记

微分

定义

A\exists A 使 Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) 可被表示为 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) 的线性形式, 则 f(x)f(x)x0x_0可微, AΔxA \Delta xf(x)f(x)x0x_0 处的微分 记作: dfx=x0df|_{x=x_0}, dyx=x0dy|_{x=x_0}

dy=AΔxdy = A \Delta xΔy\Delta y线性主部

与导数的关系

可微     \iff 可导 A=f(x0)A = f'(x_0)dydx=f(x)\dfrac{dy}{dx} = f'(x)

几何意义和近似计算

Δy\Delta y 代表函数实际的增量, dydy 代表切线估计的增量

f(x0+Δx)f(x0)f(x0)Δx    ΔydydxΔx f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x \\ \iff \Delta y \approx \dfrac{dy}{dx} \Delta x

L(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) 称为 f(x)f(x)x0x_0 附近的线性近似函数, x=x0x=x_0近似中心

若准确值为 x0x_0, 测量值为 xx, 则绝对误差: Δx=xx0\Delta x = |x-x_0|, 相对误差: Δxx\dfrac{\Delta x}{|x|}

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贡献者: wzh
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