微分

定义

若 $\exists A$ 使 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可被表示为 $\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$ 的线性形式, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微, $A \Delta x$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分 记作: $df|_{x=x_0}$, $dy|_{x=x_0}$

$dy = A \Delta x$ 是 $\Delta y$ 的线性主部

与导数的关系

可微 $\iff$ 可导 $A = f'(x_0)$$\dfrac{dy}{dx} = f'(x)$

几何意义和近似计算

$\Delta y$ 代表函数实际的增量, $dy$ 代表切线估计的增量

$$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x \\ \iff \Delta y \approx \dfrac{dy}{dx} \Delta x$$

$L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的线性近似函数, $x=x_0$ 为近似中心

若准确值为 $x_0$, 测量值为 $x$, 则绝对误差: $\Delta x = |x-x_0|$, 相对误差: $\dfrac{\Delta x}{|x|}$