导函数的极限和导数

区别

导函数的(左右)极限

• $\lim_{x \to x_0} f'(x)$
• $\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = f'(x + 0)$
• $\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = f'(x - 0)$

(左右)导数

• $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ (注意: $\Delta x$ 正负未知)
• $f'_+(x) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
• $f'_-(x) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

注意

(左右)导数 $\nLeftrightarrow$ 导函数的(左右)极限 例如: $f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ x+2, & x < 0 \end{cases}$, $f'(x) = \begin{cases}1, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0\end{cases}$ 左右导数: $f'_-(x_0) = 1$, $f'_+(x_0) = +\infty$ 导数左右极限: $f'(x_0 - 0) = 1$, $f'(x_0 + 0) = 1$常见反例

联系: 导函数极限定理

若 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内连续, 在 $\mathop{U}\limits^\circ(x_0)$ 上可导, 且 $\lim_{x \to x_0} f'(x) = A$ 存在, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导, 且 $f'(x_0) = A$

若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续, 在 $(x_0, x_0+\delta)$ 上可导, 且 $\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = A$ 存在, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导, 且 $f'_+(x_0) = A$

即: (分段函数分段点处) 邻域内连续可导 $\to$ 导数 = 导函数极限

推论: 导函数连续性定理

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导, 则导函数 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 内不存在第一类间断点

(否则该间断点两侧导数不同, 违背可导条件)

进一步 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $f'(x)$ 单调, 则 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续

逆否命题 存在第一类间断点的函数一定不是导函数（不可积为连续函数）